Megint úgy kezdem a bejegyzést, ahogy szoktam: dögfáradt vagyok. Ezúttal erre az okom az, hogy kettőtől négyig matek OKTV-t csináltam. Ha-ha-ha. Természetesen kizárt, hogy továbbjussak, öt feladatból kettőnél jött ki valami eredményféle, és még azok sem biztos, hogy jók.
Úgy gondoltam, begépelem a feladatokat, csak hogy ti is szenvedhessetek velük. Jó szórakozást! =)
1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív osztójuk van, és ezek összege 84?
2. Az a valós paraméterrel adott az alábbi egyenlet, jelölje az egyenlet valós gyökeit x1 és x2:
2x2 – 3(a + 2) + 9a + 1 = 0
(a) Határozzuk meg a értékét úgy, hogy az x12 + x22 kifejezés értéke minimális legyen.
(b) Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan valós a érték, amely esetén x1 és x2 is egész szám.
(c) Keressük meg az a paraméter olyan egész értékeit, melyek esetén az egyenletnek egyik gyöke egész.
3. Legyen n egynél nagyobb egész. Egy háromszög oldalainak mérőszámai:
a = 2n + 2 – 2n + 1 + 2n,
b = 2n + 1 – 2n + 2n – 1 ,
c = 3⋅√2⋅2n – 1 .
Mekkora a háromszög legnagyobb szögének tangense?
4. Egy táblára felírunk négy darab egymástól különböző pozitív egész számot. Először letörlünk kettőt, helyettük felírjuk a két letörölt szám mértani közepét. A táblán lévő három szám közül újra letörlünk kettőt, helyettük felírjuk a most letörölt két szám mértani közepét. Ezt követően a táblán lévő két szám mértani közepe 2.
Mekkora lehetett az eredeti négy szám összege?
5. A hegyesszögű ABC háromszög AC oldalának mely P pontjára lesz a PB2 + PC2 összeg minimális?
