A Bolyai végzős tudományos diákkörön (így se hívtuk soha) a káoszelméletről tartottam előadást, volt sikere is (bár a filozófia nekem jobban bejött, annak nem találom az anyagát), úgyhogy év végén még egyszer nagyközönség előtt is elő kellett adnom. Szóval ő az. A .ppt-ből nem szedegettem ki a képeket, de ha valakit nagyon érdekel, letölthető (vigyázz, több, mint ötven mega!). Ha elgépelés van benne, sajnálom, ha formázási furcsaság, arról a Word tehet (mosom kezeimet). Jó olvasást.

A káoszelmélet igencsak mély víznek számít az érdeklődőknek, úgyhogy egy kis bemelegítéssel kezdeném. Ki látta az első Jurassic Parkot? … És ki emlékszik belőle arra a jelenetre, amikor Ian Malcolm kiselőadást tart a pillangóhatásról a régésznőnek? … Aki emlékszik a magyarázatára, az már eggyel könnyebben fogja megérteni, amiről most beszélni fogok, mivel a pillangóhatás a káoszelmélet egyik legszemléletesebb része.

Elmondom a lényegét. A Földön adva van egy még jól működő időjárási rendszer, szelekkel, ciklonokkal és hasonlókkal. A XX. század közepén egy amerikai meteorológus, Edward Lorenz, akit még sokat fogok emlegetni, időjárási adatokat elemzett számítógépén, ami persze ma már végtelenül lassúnak számítana. Mivel ilyen remek gépe volt, kénytelen volt néha kézzel visszaírni a korábban megkapott adatokat. Ekkor azonban valami furcsát vett észre: hiába írt vissza egy számítássorozatból egy korábbi eredményt, a végső eredmény teljesen más lett. Rövid kutatás után rájött, hogy a hiba oka a kerekítés: ő ugyanis csak három tizedesjegyre kerekítve írta vissza a gépbe a számokat hat helyett, gondolván, hogy az is elég. Persze nem volt elég, és ez a hiba Lorenzet arra indította, hogy tanulmányozza mélyebben a meteorológiai rendszerek matematikáját. Egy pár évvel későbbi tanulmányában bukkan fel először a pillangó-hatás. Ennek lényege, hogy példázza a nagyon bonyolult rendszerek érzékenységét a kezdeti tényezőkre: ha egy pillangó meglebbenti a szárnyát Pekingben, ez a pici légmozgás is okozhat olyan változásokat a légáramlatokban, hogy mire eléri New Yorkot, már egy hatalmas viharrendszer alakul ki belőle.

Amikor a káoszelmélet, mint tudomány megszületett, éppen egy olyan korszakot írtak, amikor nagyon optimistán néztek az időjárás-előrejelzésre. Neumann János nyomán még azt is feltételezték, hogy akár irányítani is lehetne az időjárást. Neumann ugyanis észrevette, hogy az időjáráshoz hasonló bonyolult rendszerekben vannak olyan bizonytalan pontok, ahol egy kis lökés is hatalmas változásokat idézhet elő. Akkor miért nem tudjuk még mindig szabályozni az időjárást? Mivel volt egy kis hiba az elméletben: Neumann nem vette észre, hogy bizonytalanság a rendszer bármely pontjában fennállhat. Emiatt viszont nemhogy az ’50-es, ’60-as évek másodpercenkénti száz számításra képes számítógépei, de még a napjaink másodpercenkénti több milliárd számításra képes szuperszámítógépei sem tudják kiszámolni az időjárás viselkedését. Amikor Lorenz észrevette a kaotikus viselkedést az időjárásban, és foglalkozni kezdett vele, hamar belátta, hogy esélye se lenne egy olyan bonyolult rendszerben használható eredményt elérni. Ezért egy sokkal egyszerűbb rendszert kezdett vizsgálni: egy konvekciós cellát. Ez egy egyszerű doboz, amit folyadék tölt ki. A doboz alját melegítjük, a tetejét hűtjük. A fenti és a lenti hőmérséklettől függően különböző viselkedéseket lehet megfigyelni a rendszerben. Ha a hőmérsékletkülönbség kicsi, akkor a folyadék nem mozog, a hő vezetéssel jut feljebb. Ráadásul ekkor még stabil is a rendszer, és bármilyen véletlenszerű mozgás – például, ha valaki meglöki a dobozt – hamar kihal. Viszont ha tovább növeljük a hőt, a folyadék alja már annyira kitágul, sűrűsége annyira lecsökken, hogy legyőzi a súrlódást és elindul felfelé. Idővel hengeres áramlás alakulhat ki. Azaz a doboz közepén emelkedik a forró folyadék, a két szélén pedig süllyed, ami már lehűlt. Ez oldalról nézve körkörös mozgásnak tűnik. Azonban ha még tovább növeljük a hőt, az áramlás zavarosabb lesz, a hengerek hullámzani kezdenek, és az egész rendszer turbulens lesz, azaz az áramlás sebessége szabálytalanul, össze-vissza változik. Lorenz három változóval felírt három egyenlete tökéletesen leírta a rendszer mozgását (x’=σ(y-x); y’=x(ρ-z)-y; z’=xy-βz; σ (szigma, Prandtl-szám), ρ (ró, Rayleigh-szám), β>0; általában σ=10, β=8/3, ρ változik; ρ=28: káosz; ρ=99,96: tóruszcsomó). Ahogy a számítógépe sorban kiszámolta az összetartozó számhármasokat, Lorenz ezeket az áttekinthetőség kedvéért háromdimenziós koordinátáknak fogta fel. Ezek a koordináták pontokat határoztak meg, amikből pedig lassan összeállt egy pálya, egy trajektória. Ha egy pálya megállapodik egy pontban, az azt jelenti, hogy a rendszer állapota állandósult. De az is lehet, hogy a pont körbe-körbe jár egy görbe mentén, és ekkor a rendszer viselkedése ismétlődik, periodikus lesz. Viszont a Lorenz rendszerét leíró görbe semmi ilyen kedvességet nem követett el: nem állt meg, nem záródott ismétlődésekbe, hanem bizonyos határok között ismétlések nélkül, végtelenül bonyolult módon kanyargott. A háromdimenziós képe pedig kezdett egyre inkább egy lepkére hasonlítani, egy látványos kettős spirált alkotott.

Lorenzel szinte egy időben az élővilágot vizsgáló ökológusok is kezdtek felfigyelni a természetben megjelenő káoszra. Ahhoz, hogy kiszámolhassák, hogy egy adott populációban mennyi lesz a következő évi egyedszám, egy egyszerű függvényt használtak, és használnak még ma is, ami így néz ki: x_köv = rx(1-x). Az r paraméter itt a növekedési arányt jelöli, ennek mindig a valós populációhoz leginkább illő értéket kell adni. Az (1-x) tag megfékezi a növekedést, mivel minél nagyobb az x, annál kisebb az (1-x). Erre azért van szükség, mert nyilván nem nőhet akármekkorára az egyedszám. Az r értékétől függően azonban meglepően változatos viselkedést lehet látni a függvénytől. Ezt szemléltesse néhány grafikon – itt a populáció kezdeti egyedszáma, tehát az első x nulla egész két század. Látható, hogy egy bizonyos értékig nullához tart az egyedszám, azaz a populáció kihal, máskor egy idő után stabillá válik, aztán újra ingadozni kezd (3), aztán egyszer csak megkettőződik a periódus, egy úgynevezett bifurkáció következik be (3,5), ezután pedig már menthetetlenül kezd elvadulni az ábra. 4,8 után teljesen káoszba süllyed az egész. Ez a grafikon ábrázolja az r paraméter és a végső egyedszám közti összefüggést. Ahogy az iménti grafikonokon lehetett látni, a háromnál bekövetkező bifurkáció itt kettéosztja a vonalat – ahogy később a többi is. A bifurkációk egyre gyorsabban követik egymást, újra és újra kettőződve. Aztán az úgynevezett „akkumulációs ponton” túl olyan hullámzások jelennek meg, amik soha nem állapodnak meg – ez a káosz, amikor az ábrán egész tartományok feketülnek be. De az érdekes, hogy még eközben is alkalmanként stabil tartományok bukkannak fel. Hiába nő a nemlinearitás, egyszer csak stabil, páratlan periódus jellemezte ablak nyílik a káoszban. Ezek később rövid idő alatt, gyors bifurkációkon át hamar visszasüllyednek a káoszba.

Amilyen látványos és végtelenül bonyolult egy ilyen ábra, hasonlóan bonyolultak és látványosak a fraktálok. Ezekről gondolom már mindenki hallott legalább említés szintjén, de ha azt nem is, látni már biztos mindenki látott egyet. Ezen a területen Benoit Mandelbrot neve egyet jelent a szaktekintéllyel. Ő volt ugyanis az, aki lényegében létrehozta a fraktáltudományt, amikor a telefonvonalaknál tapasztalható zajt tanulmányozta. Észrevette, hogy bármily kicsiny időszakban van olyan még kisebb időszak, amikor nincsenek hibák. Ennek geometriai ábrázolása lehet a XIX. században a német Georg Cantor által kitalált Cantor-por. Ez úgy áll elő, hogy egy vonalnak eltávolítjuk a középső harmadát, majd a kapott vonalakkal ezt a végtelenségig folytatjuk. Ami megmarad, az a Cantor-por: végtelen sok pontból áll, és mégis teljes hossza nulla. Hasonlóan furcsa tulajdonságai vannak a Koch-féle „hópehelynek”. Vegyünk egy egységoldalú szabályos háromszöget, állítsunk minden oldalára 1/3 akkora oldalú újabbakat, és ezt ismételjük a végtelenségig. A határvonal hossza 3-szor 4/3-szor 4/3 és így tovább, a végtelenségig. Így kapunk egy folytonos hurkot, ami sosem metszi el önmagát, végtelenül hosszú, de sosem nyúlik túl az eredeti háromszög köré írható körön. Tehát véges területen van végtelen hossz… Mandelbrot talált egy módszert, ahogy mégis lehet mérni az ilyen furcsa alakzatokat, ez pedig a fraktál- azaz tört-dimenzió. Ez azt írja le, hogy mennyire tölti ki a teret egy alakzat. Egy egyszerű egyenes egyáltalán nem, viszont a Koch-görbe már igen. Több mint vonal, de még nem sík. Mandelbrot technikájával pedig pontosan meg is lehet határozni a fraktáldimenziót – a Koch-görbe esetén ez a 4/3-al való szorzás miatt ez 1,2618. A fraktálok jellemzője, hogy bármilyen nagyításban bármelyik részlet hasonlít az egészhez. Az egyik legismertebb fraktál természetesen Mandelbrot nevéhez kötődik. A Mandelbrot-halmaz a z-t a z²+c-hez rendelő leképezés végtelen ismétlése a komplex síkon. A komplex sík a komplex számok halmazából áll, amely magában foglalja egyrészt a jól ismert valós számokat, és még a komplex számokat is, amelyek tartalmazzák a képzetes egységet, azaz a -1 gyökét. Erre viszont már nem térek ki, mert félek, hogy előadásom így is túl hosszúra nyúlt – búcsúzok is, a Mandelbrot-halmaz furcsa és szép képeivel. Köszönöm a figyelmet.